暴胀的温度

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物理学家如今很可以确定我们的宇宙在过去大约140亿年间经历了持续的膨胀。在这140亿年的开端,宇宙必定极其致密与炽热。那么继续向前追溯呢?

当下的主流理论认为在这段热大爆炸时期之前,宇宙还经历了一段近乎指数速度的快速膨胀,称为暴胀(inflation)。在此期间,由于宇宙膨胀如此迅速,以至于时空本身微小的量子涨落都会被迅速放大、拉伸,并被推出视界之外冻结起来。及至暴胀结束、热大爆炸开始之后,由于宇宙膨胀的速度慢下来,这些涨落再逐个回到视界之内,并逐渐形成我们今天所见的宇宙的大尺度结构。

在解释暴胀理论时,论者通常喜用热大爆炸宇宙学的种种疑难作为引子,以凸显暴胀理论在化解这些疑难问题方面的神奇功效。这自然有历史的原因。不过在宇宙学测量愈加精确化的今天,暴胀理论则显示出另一种特别的优点,在我看来远较前者为要:由于它声称宇宙的大尺度结构来源于时空自身的量子涨落,也就是将我们如今看到的宇宙结构分布与量子涨落关联起来,因而这至少意味着:

1) 我们可以通过测量宇宙中的物质分布(微波背景、星系分布,等等)推知时空涨落本身的效应,也就是量子引力的效应。这提供了我们观测量子引力效应的窗口。说到这里,不由想起去年让人感情复杂的BICEP2实验。

2) 暴胀期间宇宙的能量密度极其高,在此期间产生的时空量子涨落,很有可能敏感地依赖于这样高能量区域的物理学。因而,通过宇宙学测量,我们还有机会获知如此高能量条件下会有怎样的新物理。通常,暴胀时期的能量,以Hubble参数计,可达10^{14}GeV。而作为对比,我们如果运气足够好,在有生之年所能看到的人造对撞机至多也只能达到10^{5}GeV。所以说,暴胀为我们提供了一台天然的超级高能对撞机。

当然啦,肯定不如人造对撞机用着顺手。不过既然是白给的,也就没什么好说了。

以上是背景介绍。下面我们讨论一个小问题:既然宇宙在热大爆炸阶段的早期极端炽热,那么在此之前的暴胀时期,宇宙有多热?退一步问,宇宙有温度吗?

要回答这个问题,不妨再退一步,先看看宇宙在热大爆炸阶段的温度从何而来。根据主流暴胀理论的重加热(reheating)过程,暴胀场在暴胀结束之后逐渐“衰变”成各种已知粒子。在此期间,暴胀场的势能转化为这些粒子的动能。然后,这些高能粒子通过相互作用逐渐达到(准)热平衡,从而为宇宙赋予了大致定义良好的温度。

这样看来,暴胀期间的宇宙是否有温度就很难说了。因为,此时的宇宙几乎没有任何粒子激发,只有一片相当均匀的暴胀场背景。当然,这些场之间也有相互作用。但是根据标准的慢滚(slow-roll)模型,此相互作用必须极端微弱,甚至比引力还要微弱得多。如此弱的相互作用大概是无法维持热平衡的。所以,暴胀期间的宇宙其实没有温度?

并非如此。自然,对于如同气体分子这样的系统,粒子间的相互作用对于达到热平衡是非常重要的。但是还有另一种情形,那就是黑体辐射:虽然光子之间没有相互作用,但是只要有某种光子的发射/接收器,或者直接叫观者(observer),与光子气体能够达到热平衡,我们就也能说,光子是有温度的。

特别是,我们都知道,暴胀期间宇宙的几何近乎de Sitter时空。而de Sitter时空中的视界的确会发射热粒子,如同黑洞的视界。所以,我们的问题可以具体化为:a) 暴胀期间的宇宙如果有温度,则其与de Sitter空间中的热谱有何关系?b) 如果说暴胀期间的宇宙有温度,那么在何种意义下,我们说今天看到的大尺度结构来源于宇宙早期的量子涨落谱而不是某种热谱?

先说第一个问题。这个问题并不如看上去那样平庸,因为热谱取决于粒子,而粒子的定义在一般的弯曲时空中是有任意性的。(粒子的定义取决于观者,这可以看作学习狭义相对论常见的各种化解“佯谬”的小问题的高级版本。)简言之,定义粒子相当于定义真空,也相当于认出一套恰当的升降算子,也就相当于将场方程的解恰当地划分成正频模式与负频模式。而正负频又与所选的时间坐标有关。所以在这个意义上,粒子的定义取决于区分正负频模式所用的坐标。

在暴胀理论中,通常的假设是,宇宙起始于Bunch-Davies真空。对此常见的说法是,在足够早的时刻,每种(按comoving时间指数膨胀的)模式都深居视界之内,因此在局部看来与Minkowski时空无异。而Bunch-Davies真空,就对应于该Minkowski时空中由Poincaré对称性自然选出的真空。然而问题是,我们为什么非得选择Minkowski时空的真空呢?

其实,除去模型构造方面的考虑(此处按下不表),Bunch-Davies真空的唯一性还在于,它是唯一i) de Sitter不变、ii) 且对所有类时观者都呈现出温度的唯一真空。注意,拿去条件ii)之后,这个说法就不再成立。换言之,Bunch-Davies真空并非唯一的de Sitter不变的真空。

如此一来我们便知道,如果宇宙暴胀起始于Bunch-Davies真空,那么对于其中的类时测地观者而言,就会看到从视界而来的热粒子,其温度正比于Hubble参数。也许在这个意义上,我们可以说,暴胀时期的宇宙是有温度的——对于其中的类时测地观者而言。

可是怎么一来,深居视界之内、形似Minkowski真空的BD真空,对于类时观者而言就成了一个热粒子态呢?——这不难理解,只需注意到,深居视界之内的模式,其动量都非常大,与此相比,其质量就可忽略不计。因此这些模式其实是类光的。所以,BD真空其实是与类光观者所携带的共形时间相适配的真空,它对于类时观者来说,就成了热态。

最后我们非常粗浅地涉及上述问题b),也就是我们今天所看到的原初涨落谱与BD真空中类时测地观者所看到的热谱之间的关系。要回答这个问题,只需注意到这两种谱是如何计算的。对于前者,即原处涨落谱,我们实际上计算的是BD真空中的两点关联函数\langle \phi(t,x)\phi(t',x')\rangle 在类空间隔,即t=t' 下的行为。而对于类时测地观者,我们则取类时间隔,x=x' 。有趣的是,对于同一个两点关联函数,其两点相对位置的不同选取,可以让我们从中读出不同的物理过程——这是高级版“相对论佯谬”的又一个精彩的例子。

——谨以此文纪念广义相对论诞生100周年。数天前与丘先生闲聊时,我提到11月26日是我的生日,而丘先生立刻说,1915年的一天前,即11月25日,是Einstein将广义相对论最终定型的论文的发表之日。事后想来,考虑到中欧两地时差,其实可以算是同一天。


图片来源:http://razorianfly.com/2015/03/22/apple-watch-mark-of-the-beast/

 

 

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