弱引力猜想

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用一句话,弱引力猜想(weak gravity conjecture, WGC)是指,在同时包含引力和(若干种)Abelian规范作用的理论中,引力必是最弱的相互作用力。当然,这样简单的讲法藏住了太多问题,所以,我试着用这篇小文简要展开之。

WGC大约是一个相当理论的题目。不过我们希望说明,这个问题不只有纯粹理论上的意趣,而且对实际的物理问题也会有影响。考虑到前两篇日志或多或少都涉及到暴胀理论,所以此处也不妨以暴胀起论 [1]。

在一大类非常简单的慢滚暴胀模型中,为了保证宇宙的加速膨胀能够持续足够长的时间,就需要暴胀子(inflaton)能够缓慢地滚动相当长的时间,而这进一步需要暴胀子的势能曲线V(\phi) 在很宽的一段区间内相当平坦。大致上,这段区间的长度\Delta\phi ,以及势能曲线在这段区间内的斜率V'(\phi) ,与CMB上的各种观测量(包括著名的B mode)有直接的联系。简言之,如果这个斜率V'(\phi) 不极端小 [2],那就要求\Delta\phi 相当大,一般来说要大过Planck尺度M_{\text{Pl}}\simeq 2.4\times 10^{19}\text{GeV}

当然,\Delta\phi \geq M_{\text{Pl}}并不意味着(被Planck尺度压制的)量子引力修正一定会毁掉平坦的慢滚势。倘若我们的暴胀模型有平移对称性\phi(x)\to \phi(x)+a ,那么即使\Delta\phi 很大,也不成大问题。但是这样并没有将问题解决干净。因为,即使有平移对称性,这对称性也总不能是精确的,因为暴胀势总得有一点很小的斜率。而且我们还得问,是什么机制保证了平移对称性的存在,且只被破缺了一点点。如此一来无非是将问题转化成了,在Planck尺度之上怎样的物理理论造就了此类暴胀模型所需的平移对称性。对于这个问题,我们有如下这样一条自然的trial & error的路线:

i) 既然我们需要不受量子修正干扰的平移对称性,那么很自然的想法是,将暴胀场认作某种全局对称性破缺的Nambu-Goldstone (NG) boson。但是这种全局对称性不可能是精确的,因为我们毕竟需要暴胀场有一个慢滚的(而不是完全平坦的)势,因此至多只能要求暴胀场是某种pseudo-NG boson (PNGB)。这就是所谓的“natural inflation” [3]。

ii) 但是这个模型的问题在于,相当平坦的暴胀势(亦即足够小的慢滚参数)要求这种PNGB的衰变常数比Planck尺度还大,因而很难想象这个有效理论不会在其工作区间内受到量子引力修正的严重干扰。更确切地说,一般来讲,全局对称性在一个量子引力理论中只能作为其低能有效理论衍生的近似对称性出现,因为量子引力效应通常会在作用量中引入破坏全局对称性、但是被f/M_{\text{Pl}} 压制的算子,其中f 相当于有效理论的紫外截断。但是在natural inflation中,这紫外截断差不多就是PNGB的衰变常数(至少有相近的数量级),而由于此时f\gg M_{\text{Pl}} ,所以量子引力对全局对称性的破坏至少完全不受抑制。

iii) 既然全局对称性在量子引力理论中无法存留,那就不妨将natural inflation中的全局对称性规范化,比如,将这种PNGB认作某种额外维中的规范场的某个纵分量。如此一来就自然地避免了远大于Planck尺度的衰变常数。此时,为了满足慢滚条件,只需要高维理论中的规范耦合常数足够小。这就是所谓的extra natural inflation [4]。

iv) 但是非常小的规范耦合常数,恰好撞上了本文所要讨论的WGC:平坦的暴胀势要求该理论的规范耦合常数如此小,以至于比引力还要弱得多。这正与“引力最弱”的假设相悖。

可是为什么非得要求引力最弱呢?

首先有一个非常直接的原因,那就是上文提到的量子引力不允许全局对称性。因为,如果一种规范作用力的耦合常数极其弱,那与之相应的规范对称性看上去就很像全局对称性。所以,既然量子引力不允许精确的全局对称性,那么就不允许过小的规范耦合常数。过小是多小?答曰,弱于引力耦合常数。于是在此意义下,WGC是“量子引力不允许全局对称性”这个说法的定量表述。

不过我们到目前为止还没有定量地陈述WGC。这里遇到的一个问题是,规范耦合常数无量纲而引力耦合常数有,因此如欲比较两者,就必须找到某个包含质量量纲的参照。下文将解释,这个参照来自最大荷电黑洞(extremal black hole, EBH)。让我们暂且取EBH的荷质比为1,从而WGC大致有这样两种可能的表述:

a) 强版本:包含引力的Abelian规范理论中,最轻荷电粒子的荷质比必不小于1;

b) 弱版本:理论中荷质比最大(但非零)的粒子,其荷质比不小于1。

显然,强版本蕴含弱版本。不过我们在这里只提供弱版本有可能正确的两个理由 [5]。这两个理由都需要用到一个事实:理论中不应有大量不受对称性保护的稳定粒子 [6]。

首先,如果理论中不存在荷质比大于1的粒子,则任取一荷质比小于1的稳定粒子。由于质量大于电荷,这样两个粒子间的引力就强过静电力,从而在净的吸引力的作用下,两个粒子就能结合成束缚态。该束缚态的电荷是原粒子的两倍,但其质量略小于原粒子的两倍。因此,该束缚态总的荷质比会略微大于原粒子。现在,只要此束缚态的荷质比仍然小于1,就可以进一步两两结合继续形成束缚态。如此持续下去,直到形成荷质比为1的粒子。这样一连串大量的复合粒子都稳定不衰变,但又不受任何对称性的保护,因此是不被允许的。

第二个理由,让我们考虑黑洞的放电。一般来讲,在包含荷质比大于1粒子的理论中,带电黑洞可以通过辐射这些粒子逐渐放电从而趋于电中性。但是如果一个理论中没有荷质比大于1的粒子,则具有任何荷质比的带电黑洞都无法放电。从而,当这些黑洞经过Hawking辐射逐渐退化到Planck质量附近时,就可以形成大量质量在Planck附近、具有各种荷质比且稳定的残留物。而这也是不被允许的。

当然,WGC的成立还有其他方面的理由,这里不再讨论。读者可参考[5]及其后续工作。现在让我们回到最初提到的问题:既然将暴胀子认作PNGB并进一步规范化的暴胀模型与WGC相冲突,我们有任何解决办法吗?构造与WGC相容的暴胀模型,近来有不少尝试,然而很多简单的修补似乎都难逃WGC的限制。当然也有一些目前看来没有大问题的模型,比如[7]。不过这些讨论在目前仍是开放的问题,所以不妨到此为止。


[0] 图片来源:Wikimedia Commons
[1] 除了暴胀模型,文献中讨论过WGC的另一个物理后果,有关自然性问题(naturalness problem),或许可作为今后某篇日志的主题,此处姑存之不论。
[2] 如果极端小,那么一般来讲就需要对暴胀势作高度的微调。
[3] Phys. Rev. Lett. 65 (1990) 3233.
[4] Phys. Rev. Lett. 90 (2003) 221302 [arXiv:hep-th/0301218].
[5] JHEP 0706 (2007) 060 [hep-th/0601001].
[6] 由于篇幅限制,本文不拟展开讨论这个论断。一般而言,但凡稳定(不衰变)的粒子都有其稳定的理由,这理由一般都是对称性。
[7] Phys. Rev. Lett. 114 (2015) 151303 [arXiv:1412.3457].

 

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