这篇小文要谈的不是什么新进展，而是一个我觉得应该成为常识的问题，即“幂律发散”（power-law divergence）和与之相关的“自然性问题”（naturalness problem）、或者叫“等级问题”（hierarchy problem）、又叫“微调问题”（fine-tuning problem），特别是粒子物理标准模型中与Higgs场有关的此类问题。
这些问题如今几乎已成为论者借以攻击标准模型的首选利器，研究者在企图引入任何超出标准模型的新理论时言必及之 [1]。因而这些议论虽往往可见，多数却言之泛泛。通晓此道的研究者自可视之为理所当然，但这些过分简化提法对初学者以及与该领域稍有距离的研究者来说，就显得似是而非，不免使人生疑。所以，用这篇日志对此问题稍作澄清，也许并非多余。
这三个问题视角各异，而又相互关联。其中最为技术化的表述当属“微调问题”。既然魔鬼常在（技术的）细节中，我们也就自此谈起。在过分简化的说法中，这常被归咎于Higgs场质量项的量子修正的二次发散。以最简单的
![\displaystyle \int^\Lambda\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}\frac{\mathrm{i}}{k^2-m^2}=\frac{1}{16\pi^2}\bigg[\Lambda^2-m^2\log\Big(1+\frac{\Lambda^2}{m^2}\Big)\bigg] .](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cint%5E%5CLambda%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5E4k%7D%7B%282%5Cpi%29%5E4%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bi%7D%7D%7Bk%5E2-m%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%5Cpi%5E2%7D%5Cbigg%5B%5CLambda%5E2-m%5E2%5Clog%5CBig%281%2B%5Cfrac%7B%5CLambda%5E2%7D%7Bm%5E2%7D%5CBig%29%5Cbigg%5D+.+&bg=ffffff&fg=666666&s=0&c=20201002)
其中正比于
然而这套说法是错误的，这至少可从两方面看出。其一，以上计算尚未指定重整化方案。而在一个明确的重整化方案中，以上正比于截断平方的项可被任意地剪除。其二，以上正比于截断平方的部分依赖于人为的正规化方案，例如在维数正规化中，就完全没有平方发散。[2]
概言之，正规化方案和重整化方案本身都是人为选取的（请参考[2]），其中各参量罕有独立的物理意义。所以如果想从中提取任何与人为的规定无关的物理信息，就得格外小心。在眼下所讨论的问题里，紫外截断完全来自人为选取，在合适的重整化方案下，它不会对Higgs场的质量造成幂律的修正。而且，如果我们假设标准模型就是基本粒子理论的全部，那么将此截断认作某种新物理理论的尺度就无从谈起。所以我们的结论是，就Higgs场的质量而言，标准模型本身完全没有微调问题。
实际上，通常所论的微调问题并非标准模型本身的问题，而是任何包含标准模型作为其低能极限的更完整理论所需面临的问题。明确起见，让我们假设一个新物理模型，在标准模型诸粒子之外，还含有一个非常重的标量粒子，其质量M远高于TeV尺度。现在，假设该粒子与Higgs场有四次相互作用，则其对Higgs场质量的量子修正，同样具有上面表达式的形式，只需将其中的m替换为更重的M。在合适的正规化与重整化方案下，幂次项可被完全剪除，但对数项却不可，因而会留存在最终的表达式中。当然，对数型发散（在重整化之后则是对数型跑动）完全是可以接受的。只是此时，其系数却正比于非常大的质量M的平方。在此意义上，我们方能说，这个包含标准模型的新物理理论可能会面临微调问题。
现在不难看出，所谓微调问题，其实绝不是标准模型自己的问题，反倒是所有试图扩充标准模型的新理论所需担心的问题。因此，所有这样的新理论都需要想方设法避免之。
这一点对于等级问题和自然性问题而言就更显然了。等级问题是说，理论如何解释其中两个相差巨大的能量尺度——而标准模型的Higgs场部分只有一个能量尺度，即Higgs的真空期望值；自然性问题则是说，理论中不受对称性保护的参量不应当过分小——而标准模型的Higgs质量并非无量纲的参量，要衡量其大小，必须另择尺度。而只有选取此尺度为很高的新物理能标时，自然性问题才成立。
当然，这绝不意味着标准模型可以高枕无忧。事实上，我们有大量的实验与观测证据表明标准模型必不是基本粒子物理的完整理论。中微子质量、暗物质、正反物质不对称都是标准模型之外新物理的绝好证据。因此，从理论和实验两方面继续探索超出标准模型的新物理，其必要性毫无疑问。
[1] 扯一点闲话。在标准模型的所有粒子都被实验找到之后，甚至早在此之前，对标准模型的攻击就已形成墙倒众人推之势。然而任何对标准模型的结构有深入理解的同学大概都不会否认，它仍然是目前为止我们所知的最完美的粒子物理理论。虽然大家为了试图超越标准模型而不遗余力地丑化之，但是我至今还没有看到任何一个新的替代理论能够完胜标准模型，即使纯粹从各种美学标准来衡量也是如此。
丑化标准模型的另一个常见说法是它的自由参数多达19个。然而19个参数很多吗？von Neumann说，4个参数足以拟合一头大象，5个就足以让它摇鼻子。请注意，这仅仅是拟合一个纸面上大象的轮廓，而且这5个参数很有可能还是复参数，也就是说，实际上应当是10个参数。而标准模型则能以不超过两头二次元的大象摇鼻子所需的参数，解释TeV能量以下绝大多数的自然现象，其简洁高效由此可见一斑。
当然我完全无意为标准模型辩护。这个脚注只是想展示，一种论点一旦放大成为舆论，就蛮可以从中挤出不少水分来。
[2] 关于正规化方案和重整化方案的讨论，可参考此文。
弦乐四重奏 